Curtosi (Català)

La curtosi d’una variable estadística / aleatòria és una característica de forma de la seva distribució de freqüències / probabilitat.

Segons la seva concepció clàssica, una curtosi gran implica una major concentració de valors de la variable tant molt a prop de la mitjana de la distribució (pic) com a molt lluny d’ella (cues), a el temps que hi ha una relativament menor freqüència de valors intermedis. Això explica una forma de la distribució de freqüències / probabilitat amb cues més gruixudes, amb un centre més apuntat i una menor proporció de valors intermedis entre el pic i cues.

Una major curtosi no implica una major variància, ni viceversa.

Un coeficient d’apuntament o de curtosi és el quart moment pel que fa a la mitjana estandarditzat que es defineix com:

β 2 = μ 4 σ 4 {\ displaystyle \ beta _ {2} = {\ frac {\ mu _ {4}} {\ sigma ^ {4}}}} {\ displaystyle \ beta _ {2} = {\ frac {\ mu _ {4}} {\ sigma ^ {4}}}}

on μ 4 {\ displaystyle \ mu _ {4}} {\ displaystyle \ mu _ {4}} és el 4t moment centrat o pel que fa a la mitjana i σ {\ displaystyle \ sigma} \ sigma és la desviació estàndard.

En la distribució normal es verifica que μ 4 = 3 σ 4 {\ displaystyle \ mu _ {4} = 3 \ sigma ^ {4}} {\ displaystyle \ mu _ {4} = 3 \ sigma ^ {4}}, on μ 4 {\ displaystyle \ mu _ {4}} {\ displaystyle \ mu _ {4}} és el moment d’ordre 4 respecte a la mitjana i σ {\ displaystyle \ sigma} \ sigma la desviació típica. Per això, està més estesa la següent definició de coeficient de curtosi, també anomenada excés de curtosi:

g 2 = μ 4 σ 4-3 {\ displaystyle g_ {2} = {\ frac {\ mu _ {4}} {\ sigma ^ {4}}} – 3} {\ displaystyle g_ {2} = {\ frac {\ mu _ {4}} {\ sigma ^ {4 }}} - 3}

on s’ha sostret 3 (que és la curtosi de la distribució normal o gaussiana) a fi de generar un coeficient que valgui 0 per la Normal i prengui a aquesta com a referència de curtosi.

Prenent, doncs, la distribució normal com a referència, una distribució pot ser:

  • leptocúrtica, quan β 2 > 3 {\ displaystyle \ beta _ {2} >{\ displaystyle \ beta _ {2} 3} ig 2 > 0 {\ displaystyle g_ {2} >{\ displaystyle g_ { 2} 0}: més apuntada i amb cues més gruixudes que la normal.
  • platicúrtica, β 2 < 3 { \ Displaystyle \ beta _ {2} <{\ displaystyle \ beta _ {2} 3} ig 2 < 0 {\ displaystyle g_ {2} <{\ displaystyle g_ {2} 0}: menys apuntada i amb cues menys gruixudes que la normal.
  • mesocúrtica, β 2 = 3 {\ displaystyle \ beta _ {2} = 3} {\ displaystyle \ beta _ {2} = 3} ig 2 = 0 {\ displaystyle g_ {2} = 0} {\ displaystyle g_ {2} = 0}: quan té una distribució normal.

El coeficient de curtosi pot usar-se com un indicador, en combinació d’altres, de la possible existència d’observacions anòmales, de no normalitat (veure, per exemple , el Test de Jarque-Bera) o de bimodalitat.

l’evidència més recent, però, sosté que la curtosi poc té a veure amb el centre de la distribució i el seu apuntament i en canvi molt amb les cues i la possible existència de valors atípics. Aquesta interpretació és la que preval a dia d’avui.

Una altra forma de mesurar la curtosi s’obté examinant la fórmula de la curtosi de la suma de variables aleatòries. Si I és la suma de n variables aleatòries estadísticament independents, totes amb la mateixa distribució X, llavors K urt = K urtn {\ displaystyle Kurt = {\ frac {Kurt} {n}}} {\ displaystyle Kurt = {\ frac {Kurt} {n}}}, complicant-se la fórmula si la curtosi s’hagués definit com μ 4 σ 4 {\ displaystyle {\ frac {\ mu _ {4}} {\ sigma ^ {4}}}} {\ displaystyle {\ frac {\ mu _ {4}} {\ sigma ^ {4}}}}.

Deixa un comentari

L'adreça electrònica no es publicarà. Els camps necessaris estan marcats amb *