Operador escala

a

En àlgebra lineal (i en les seves aplicacions a la mecànica quàntica), un operador de pujada o de baixada (també coneguts com a operadors escala) és un operador que augmenta o disminueix l’autovalor d’un altre operador. En mecànica quàntica, l’operador de pujada també es denomina operador de creació mentre que el de baixada es denomina operador de destrucció. Aplicacions dels operadors escala es poden veure al oscil·lador harmònic quàntic i en el moment angular.

Coneixements addicionals recomanats

a

Taula de continguts

  • 1 Propietats
  • 2 Aplicació: oscil·lador harmònic quàntic
    • 2.1 Anàlisi dimensional
    • 2.2 Valors propis en la representació d’energia
    • 2.3 vectors propis en la representació de energia
      • 2.3.1 L’estat fonamental
      • 2.3.2 Estats excitats
    • 2.4 Espectre dels operadors de creació i destrucció

a

Propietats

Suposem que dos operadors \ hat X \, i \ hat N \, tenen una relació de commutació que és proporcional a l’operador \ hat X \,:

= c \ hat X \,

sent c \, un escalar. Llavors l’operador \ hat X \, actuarà de tal manera que desplaçarà l’autovalor i autovector de \ hat N \, una quantitat c \,. En efecte:

\ hat N \ hat X | n \ rangle {} = (\ hat X \ hat N +) | n \ rangle
{} = (\ hat X \ hat N + c \ hat X) | n \ rangle
{} = \ hat X \ hat N | n \ rangle + c \ hat X | n \ rangle
{} = \ hat X | n \ rangle + c \ hat X | n \ rangle
{} = (n + c) \ hat X | n \ rangle

és a dir, si | n \ rangle és un autovector de \ hat N \, amb autovalor n \,, llavors \ hat X | n \ rangle també és un autovector de \ hat N \,, però en aquest cas amb autovalor n + c \,. És a dir | n + c \ rangle = \ hat X | n \ rangle.

Si \ hat N \, és hermític (per exemple, si és el Hamiltonià), llavors c \, ha de ser real. En aquest cas si c \, és positiva es diu que \ hat X \, és un operador de pujada, mentre que si és negativa l’operador és de baixada. Cal notar que si \ hat X \, és de pujada, llavors el seu operador adjunt serà de baixada i viceversa, ja que obeeixen la relació:

= -c \ hat X ^ \ dagger. \,

Aplicació: oscil·lador harmònic quàntic

a continuació veurem l’aplicació dels operadors escala a el cas de l’oscil·lador harmònic quàntic. Així, diagonalizaremos l’Hamiltoniano aplicant l’àlgebra dels operadors escala. Començarem escrivint el hamiltonià com:

\ hat {H} = \ frac {\ hat {p} _x ^ 2} {2m } + \ frac {1} {2} m \ omega ^ 2 \ hat {x} ^ 2

on \ hat {p} _x és la component sobre l’eix x d’l’operador moment de la partícula.

Anàlisi dimensional

Començarem reescrivint el Hamiltonià en terme de magnituds adimensionals (per a això es pot aplicar l’anàlisi dimensional). Per a això definirem les magnituds

\ hat {X} = \ sqrt {\ frac {m \ omega} {\ hbar}} \ hat {x}, \ qquad \ hat {p} = \ frac {\ hat {p} _x} {\ sqrt {m \ hbar \ omega}}

que permeten expressar el hamiltonià com la suma de formes quadràtiques

\ hat {H} = \ frac {1} {2} \ hbar \ omega \ left (\ hat {p} ^ 2 + \ hat {X} ^ 2 \ right)

Aquesta forma suggereix definir un operador i el seu adjunt tals que el seu producte sigui proporcional a l’Hamiltonià (de manera equivalent a la definició de complex i complex conjugat).Així, si definim l’operador de baixada a \, i el de pujada a ^ \ dagger \,

\ hat {a} = \ frac {1} {\ sqrt {2}} (\ hat {X} + i \ hat {P} ), \ qquad \ hat {a} ^ \ dagger = \ frac {1} {\ sqrt {2}} (\ hat {X} -i \ hat {P})

és fàcil comprovar que la relació de commutació posició-moment \ left = i es transforma en \ left = \ hat {a} \ hat {a} ^ \ dagger - \ hat {a} ^ \ dagger \ hat {a} = 1 i que el Hamiltonià es pot reescriure com

\ hat {H} = \ frac {1} {2} \ hbar \ omega \ left (\ hat {a} \ hat {a} ^ \ dagger + \ hat {a} ^ \ dagger \ hat {a} \ right) = \ hbar \ omega \ left (\ hat {a} ^ \ dagger \ hat {a} + \ frac {1} {2} \ right)

Convé fer notar que el terme \ frac {1} {2} \ hbar \ omega és una conseqüència que \ hat x i \ hat {p} _x no commuten, és a dir, del principi d’indeterminació. Veurem en el que segueix que aquest terme dóna lloc a l’energia del punt zero o energia de l’estat fonamental.

Finalment, d’acord amb l’expressió anterior, l’espectre de \ hat H està relacionat amb l’espectre de \ hat N = \ hat {a} ^ \ dagger \ hat {a}. En aquest cas podem observar que \ hat a \, és un operador escala de baixada, ja que

= \ hat {N} \ hat {a} - \ hat {a} \ hat {N} = \ hat {a} ^ \ dagger \ hat {a} \ hat {a} - \ hat {a} \ hat {a} ^ \ dagger \ hat {a} = - \ hat {a}

on s’ha tingut en compte la relació de commutació.

valors propis en la representació d’energia

Per obtenir els valors propis de N = \ hat {a} ^ \ dagger \ hat {a}

\ hat {N} | n \ rangle = n | n \ rangle

utilitzarem les següents propietats de l’espectre de \ hat {N}:

  • els valors propis n \, són positius o nuls. En efecte, la norma de el vector \ hat a \ left | n \ right \ rangle és positiva o nul·la, llavors

\ left (\ hat a \ left | n \ right \ rangle, \ hat a \ left | n \ right \ rangle \ right) = \ left \ langle n \ right | \ Hat a ^ \ dagger \ hat a \ left | n \ right \ rangle = \ left \ langle n \ right | \ Hat N \ left | n \ right \ rangle = n \ left \ langle n | n \ right \ rangle = n \ ge 0on hem considerat que les funcions\ left | n \ right \ rangleestan normalitzades.

  • Si n \, és un valor propi associat a el vector propi \ left | n \ right \ rangle, llavors n-1 \, és també un valor propi associat a el vector \ hat {a} \ left | n \ right \ rangle. De el resultat anterior s’obté que la constant de normalització de \ hat {a} \ left | n \ right \ rangle és 1 / \ sqrt {n}. S’obté així que \ hat {a} \ left | n \ right \ rangle = \ sqrt {n} \ left | n-1 \ right \ rangle.
  • De la mateixa manera, hem de, \ hat {a} ^ \ dagger \ left | n \ right \ rangle = \ sqrt {n + 1} \ left | n + 1 \ right \ rangle.
  • L’autovalor n \, deu ser un nombre enter. En efecte, si apliquem m \, vegades l’operador de baixada \ hat a, haurem de

\ hat a ^ m \ left | n \ right \ rangle = \ sqrt {n (n-1) \ cdots (nm + 1)} \ left | nm \ right \ rangleCom\ left | nm \ right \ rangleés un autovector de\ hat Namb autovalornm \,, sin \,no és un enter sempre existirà un valor dem \,per al qual l’autovalor n – m serà negatiu, el que contradiu el primer dels punts.

Així, els valors propis de l’operador \ hat N són els números sencers n \ ge 0. Com a conseqüència, l’espectre d’energies d’el Hamiltonià de l’oscil·lador harmònic és

E_n = \ hbar \ omega \ left (n + \ frac {1} {2} \ right), \ qquad n \ ge 0.

vectors propis en la representació d’energia

l’estat fonamental

Podem utilitzar els resultats anteriors per obtenir les autofuncions de l’oscil·lador harmònic. Per obtenir l’estat fonamental, podem aplicar l’operador escala de baixada. Així.com \ hat {a} \ left | n \ right \ rangle = \ sqrt {n} \ left | n-1 \ right \ rangle, tenim

\ hat {a} \ left | 0 \ right \ rangle = \ sqrt {0} \ left | -1 \ right \ rangle = 0

Projectant sobre \ left \ langle x \ right | podem expressar aquesta equació en la representació de coordenades,

\ left \ langle x | \ Hat {a} | 0 \ right \ rangle = 0 \ rightarrow \ left \ langle x \ right | \ Sqrt {\ frac {m \ omega} {\ hbar}} \ hat {x} + I \ frac {1} {\ sqrt {m \ hbar \ omega}} \ hat {p} _x \ left | 0 \ right \ rangle = 0

que es pot reescriure com una equació diferencial

\ left (m \ omega x + \ hbar \ frac {d} {dx} \ right) \ psi_0 (x) = 0

.

Así la solució a aquesta equació diferencial permet obtenir la funció d’ones de l’estat fonamental

\ psi_0 ( x) = A \ exp \ left (- \ frac {m \ omega x ^ 2} {2 \ hbar} \ right).

on la constant de normalització s’obté a l’imposar \ left \ langle 0 | 0 \ right \ rangle, ytoma el valor A = \ left (m \ omega / \ pi \ hbar \ right) ^ {1/4}.

Estats excitats

Per obtenir les funcions d’ona dels estats excitats de l’oscil·lador harmònic, podem aplicar l’operador escala de pujada a l’estat fonamental.

\ left | n \ right \ rangle = \ frac {1} {\ sqrt {n}} \ hat a ^ {\ dagger} \ left | n-1 \ right \ rangle = \ frac {1} {\ sqrt {n!}} \ left (\ hat a ^ {\ dagger} \ right) ^ {n} \ left | 0 \ right \ rangle

Espectre dels operadors de creació i destrucció

  • Quant a l’espectre en les seccions anteriors s’ha provat que l’espectre de l’operador nombre és purament puntual i coincideix amb \ mathbb {N}.
  • l’espectre puntual de l’operador destrucció és tot el pla complex \ mathbb {C} i és deTipus puntual, ja que per a qualsevol nombre complex \ lambda \ in \ mathbb {C} sempre hi ha solució | \ xi_ \ lambda \ rangle \ in \ mathcal {H} de l’equació:

\ hat {a} | \ xi_ \ lambda \ rangle = \ lambda | \ xi_ \ lambda \ rangle

  • Finalment l’espectre puntual de l’operador creació és buit, mentre que el seu espectre residual inclou tot el pla complex.

Categoria: Mecànica quàntica

Deixa un comentari

L'adreça electrònica no es publicarà. Els camps necessaris estan marcats amb *