operador de escaleira

en álxebra lineal (e nas súas aplicacións á mecánica cuántica), un operador de subida ou caída (tamén coñecido como operadores de escaleira) é un operador que aumenta ou diminúe o autovalor doutro operador. Na mecánica cuántica, o operador de subida tamén se denomina operador de creación mentres a caída foi chamada operadora de destrución. As solicitudes dos operadores de escaleira pódense ver no oscilador harmónico cuántico e no momento angular.

Coñecemento adicional recomendado

Táboa de contidos

  • 1 propiedades
  • 2 aplicación: oscilador harmónico cuántico
    • 2.1 Análise dimensional
    • 2.2 Valores propios na representación de enerxía
    • 2.3 Vectores propios da representación de enerxía
      • 2.3.1 O estado fundamental
      • 2.3.2 Estados emocionado
    • 2.4 Espectro de creación e operadores de destrución

Propiedades

Supoñamos dous operadores hat x \, e ten unha relación de conmutación que é proporcional ao operador \ hat x \,:

= c \ hat x \,

ser c \, unha subida. Entón o operador \ HAT X \, actuará de tal xeito que se desprazará o AutoValue e o AutoVector de HAT N \, unha cantidade c \,. De feito:

\ hat n \ hat x | n \ rangle {} = (\ hat x \ hat n +) | n \ rangle

{} = (\ hat x \ hat n + c \ hat x) | n \ range
{} = \ hat x \ hat n | n \ rangle + c \ hat x | n \ range
{} = (n + c) \ hat x | n \ range

IE, se é un autoctor de con autovalue n \,, entón \ hat x | n \ rangle é tamén un autoctor de \ hat n \,, pero neste caso con autovalue n + c \,. É dicir, n + c \ rangle = \ hat x | n \ rangle.

Se hat n \ , é hereódico (por exemplo, se é o hamiltoniano), entón c \, ten que ser real. Neste caso, se c \, é positivo, dise que hat x \, é un operador de subida, mentres que se O operador é descenso é negativo. Teña en conta que se \ hat x \, está cargado, entón o seu operador adxunto será abaixo e viceversa, xa que obedecen a relación:

= -c \ hat x ^ \ dagger. \,

Aplicación: oscilador harmónico cuántico

Veremos a aplicación dos operadores de escaleira ao caso do oscilador harmónico cuántico. Así, imos diagonizar a hamiltoniana aplicando a álxebra dos operadores da escaleira. Comezaremos a escribir o Hamiltoniano como:

\ hat {h} = \ frac {\ hat {p} _x ^ 2} {2m} + frac {1} {2} m \ omega ^ 2 \ hat {x} ^ 2

onde \ Hat {p} _x é o compoñente do eixe X do tempo do operador da partícula.

Análise dimensional

Comezaremos a reescribir o hamiltoniano en termos de magnitudes dimensionales (para iso pódese aplicar a análise dimensional). Para iso, definiremos as magnitudes

\ hat {x} = \ sqrt {frac {m ω} {\ Hbar}}} \ hat {x}, \ qquad \ hat {p} = \ frac {\ hat {} _x} {\ sqrt {m hbar \ omega}}

que permite que o hamiltoniano exprese como a suma de formas cuadráticas

\ hat {h} = \ Frac {1} {2} \ hbar \ omega \ left (\ hat {p} ^ 2 + hat {x} ^ 2 \ right)

Este formulario suxire definir un operador e o seu anexo de tal forma que o seu produto sexa proporcional ao hamiltoniano (equivalente á definición de complexo complexo e conxugado).Entón, se definimos o operador de descarga a \, e a subida a ^ \ daga \,

\ hat {a} = \ frac {1} {\ sqrt {2}} (\ hat {x} + i hat {}), \ Qquad \ hat {a} ^ \ dagger = \ rostro {1} {\ sqrt {2}} (\ hat {x} -i \ hat {})

É fácil comprobar que a relación de conmutación post-hora \ left = i transfórmase en e que o hamiltoniano pode ser reescrito como

\ hat {h} = \ frac {1} {2} \ hbar \ omega \ left (\ hat {a} \ hat {a} ^ \ daga + hat

Recoméndase notar que o termo \ frac {1} {2} \ hbar \ omega é un consecuencia que \ hat x e \ Sombreiro {p} _x Non cambiar, é dicir, o principio de indeterminación. Veremos que segue que este termo dá lugar á enerxía do punto cero ou á enerxía do estado fundamental.

Finalmente, de acordo coa expresión anterior, o espectro de \ Hat h está relacionado co espectro de \ hat n = \ hat {a} ^ \ daga \ hat {a}. Neste caso, podemos ver que \ sombreiro a \, é un operador de escaleira reducido, xa que

= \ sombreiro {n} hat {a} \ hat \ hat \ hat ^ \ dagger \ hat {a} \ hat \ hat {a} \ hat {a} ^ \ dagger \ hat {a} = - \ hat {a}

onde se tivo en conta a relación.

valores propios da enerxía Representación

para obter os valores propios de n = \ sombreiro {a} ^ \ daga \ hat {a}

\ sombreiro {n} | n \ rangle = n | n \ range

Usaremos as seguintes propiedades do espectro de \ hat {n}:

  • valores propios N \, son positivos ou nulos. De feito, o vector estándar \ sombreiro un \ esquerda | N \ right \ rangle é positivo ou nulo, entón

\ esquerda (\ sombreiro a \ left | n \ right \ rangle, \ hat a \ Esquerda | n \ right \ rangle \ right) = \ esquerda \ langle n \ right | \ Hat a ^ \ daga \ sombreiro un \ esquerda | n \ right \ rangle = \ esquerda \ langle n \ right | \ Hat n \ esquerda | n \ right \ rangle = n \ lange \ langle n | N \ right \ rangle = n \ ge 0 onde consideramos que as funcións \ esquerda | n \ right \ rangle están estandarizados.

  • Se n \, é un valor asociado co seu propio vector \ esquerda | n \ right \ rangle, entón N-1 \, tamén é un valor propio asociado ao vector \ sombreiro {a} \ Esquerda | n \ right \ rangle Do resultado anterior obtense que a constante de estandarización de \ hat \ left | n \ right \ rangle1 / \ sqrt {n}. Obtívose así que \ hat \ left | n \ right \ rangle = \ sqrt {n} \ esquerda | N-1 \ right \ rangle.
  • Do mesmo xeito, temos que, \ hat \ loft | ^ \ daga \ esquerda | n \ right \ rangle = \ sqrt {n + 1} \ left | n + 1 \ right \ rangle.
  • o AutoValue n \, debe ser un número enteiro. De feito, se aplicamos m \, veces o operador de descarga \ sombreiro a, teremos que

\ hat a ^ m \ left | n \ right \ rangle = \ sqrt {n (n-1) \ cdots (n-m + 1)} \ left | nm \ right \ rangle como \ left | nm \ right \ Rangle é un autovector de \ hat n con AutoValue nm \,, se N \, non é un número enteiro, sempre haberá un valor de m \, para o que o Autovalue NM será negativo, que contradi o primeiro de os puntos.

Así, os valores propios do operador \ hat n son os enteiros . Como consecuencia, o espectro de enerxía hamiltoniana do oscilador harmónico é

e_n = \ hbar \ omega \ left (n + frac) {1} {2} \ right), \ qquad n \ ge 0.

Vectores propios na representación de enerxía

o Estado fundamental

Podemos usar os resultados anteriores para obter as autofuncións do oscilador harmónico. Para obter o estado fundamental, podemos aplicar o operador de escaleira de descenso. Así.como \ hat \ a \ left | n \ right \ rangle = \ sqrt {n} \ esquerda | N-1 \ right \ rangle, temos

\ hat \ left | 0 dereita \ rangle = \ sqrt {0} \ esquerda | -1 \ range \ rangle = 0

Proxectar sobre \ esquerda \ langle x \ rectual | Podemos expresar esta ecuación na representación de coordenadas,

\ esquerda \ langle x | \ sombreiro {a} | 0 dereita \ rangle = 0 \ rightarrow \ left \ langle x \ right | \ Sqrt {\ frac {m \ omega} {\ hbar}} hat {x} + i frac {1} {\ sqrt {m \ hbar \ omega}} \ hat {p} _x \ left | 0 right \ rangle = 0

que pode ser reescrito como unha ecuación diferencial

\ left (m \ omega x + \ right) \ psi_0 (x) = 0

x) = A \ exp / á esquerda (-. \ frac {m ω x ^ 2} {2 \ hbar} \ right)

onde a constante normalización obtense impoñendo \ left \ langle 0 | 0 \ right \ rangle, ytoma o valor A = \ Loft (M w / \ Pi \ hbar \ Dereita)<1/4}

.

Estados excitados

para obter as funcións de onda dos estados excitados do oscilador harmónico, podemos aplicar o operador de escaleira de subida ao estado fundamental.

\ esquerda | n \ right \ rangle = \ frac {1} {\ sqrt {n}} \ hat a ^ {\ \ puñal} \ left | N-1 \ right \ rangle = \ frac {1} {\ sqrt {n!}} \ Esquerda (\ sombreiro a ^ {\ daga} → ^ \ esquerda | 0 \ right \ rangle

Espectro de operadores de creación e destrución

  • Como para o espectro nas seccións anteriores probouse que o espectro do operador de números é puramente puntual e coincide con Mathbb {n}.
  • O espectro puntual da destrución do operador é todo plano complexo \ mathbb {C} e puntual estándar, xa que para calquera número complexo \ lambda \ in \ mathbb {C} Sempre hai unha solución | \ xi_ \ lambda \ rangle \ en \ mathcal {h} da ecuación:

\ hat \ rangle = \ lambda | \ xi_ \ lambda \ rangle

  • Finalmente o espectro puntual da creación operador está baleiro, mentres o seu espectro residual inclúe todo o plano complexo

Categoría :. a mecánica cuántica

Deixa unha resposta

O teu enderezo electrónico non se publicará Os campos obrigatorios están marcados con *