operador Ladder

Em álgebra linear (e em suas aplicações à mecânica quântica), um aumento ou operador de gota (também conhecido como operador escada) é um operador que aumenta ou diminui o autovalor de outro operador. Na mecânica quântica, o operador de ascensão também é chamado de operador de criação, enquanto a queda foi chamada de operador de destruição. As aplicações dos operadores de escada podem ser vistas no oscilador quântico harmônico e no momento angular.

Conhecimento adicional recomendado

tabela de conteúdo

  • 1 propriedades
  • 2 Aplicação: Quantum harmónica oscilador
    • 2.1 análise Dimensional
    • 2.2 valores próprios na representação potência
    • 2.3 vectores próprios na representação de Energia
      • 2.3.1 O estado fundamentais
      • 2.3.2 estados excitados
    • 2.4 Espectro de operadores de criação e destruição

Propriedades

Suponha que dois operadores \ hat X \, e \ HAT N \, possuem uma comutação relação que é proporcional ao operador \ HAT X \,:

= c \ hat x \,

Sendo c \, uma subida. Em seguida, o operador \ Hat X \, irá agir de tal forma que rolará o autovuleu e o autovector de \ HAT N \, Uma quantidade c \,. De fato:

\ hat n \ hat x | n \ rangle {} = (\ hat X \ hat N +) | n \ rangle
{} = (\ HAT X \ HAT N + C \ HAT X) | n \ rangle
{} = \ hat X \ hat N | n \ rangle + C \ hat X | N \ rangle
{} = \ hat xn | n \ rangle + c \ haat x | n \ rangle
{} = (n + c) \ hat X | n \ rangle

ou seja, se é um autoctor de \ hat n \, com autovalor n \,, então \ Hat X | n \ rangle é também um autoctor de , mas neste caso com autovuleu n + c \,. Ou seja, | n + c \ rangle = \ hat x |. N \ rangle

se \ hat n \ , é heritical (por exemplo, se ele é o Hamiltoniano), então c \, tem que ser real. Neste caso, se c \, é positivo, diz-se que \ hat x \, é um operador de origem, enquanto se O operador é declive é negativo. Observe que se \ hat x \, é carregado, então seu operador anexado será para baixo e vice-versa, já que eles obedecem ao relacionamento:

= -c \ hat x ^ \ adagente. \,

Aplicação: oscilador quântico harmônico

Vamos ver a aplicação dos operadores da escada para o caso do oscilador Harmónico quântico. Assim, diagonais diagonais o Hamiltonian aplicando a álgebra dos operadores da escada. Vamos começar a escrever o Hamiltoniano como:

\ hat {h} = \ frac {\ hat {p} _x ^ 2} {2 M} + \ frac {1} {2} M \ omega ^ 2 \ chapéu {x} ^ 2

onde \ hat {P} _x é o componente no eixo x do tempo do operador da partícula.

Análise dimensional

Começaremos reescrevendo o Hamiltoniano em termos de magnitudes dimensionais (para que a análise dimensional possa ser aplicada). Para fazer isso, vamos definir as magnitudes

\ hat {x} = \ sqrt {\ frac {m} {\ hbar}}} \ hat {x}, \ qquad \ chapéu {p} = \ frac {\ hat {} _x} {\ sqrt {m \ hbar \ omega}}

que permitem que o hamiltoniano para expressar como a soma das formas quadráticas

\ hat {H} = \ frac {1} {2} \ hbar \ omega \ left (\ hat {p} ^ 2 + \ hat {x} ^ 2 \ right)

Esta forma sugere Definir um operador e a sua fixação de modo a que o seu produto é proporcional ao Hamiltoniano (equivalente para a definição de complexo e conjugado complexo).Então, se definirmos o operador de download A \, ea ascensão A ^ \ dagger \,

\ hat {A} = \ frac {1} {\ sqrt {2}} (\ hat {X} + i \ chapéu {}), \ qquad \ hat {A} ^ \ DAGGER = \ ROSTO {1} {\ sqrt {2}} (\ hat {x} -i \ chapéu {})

é fácil verificar que a proporção de comutação POST-TIME \ left = i transforma-se em e que o hamiltoniano pode ser reescrita como

\ hat {H} = \ frac {1} {2} \ hbar \ omega \ left (\ hat {A} \ hat {A} ^ \ Dagger + \ hat {a} ^ \ dagger \ hat {a} \ right) = \ hat \ omega \ left (\ hat {a} ^ \ dagger \ hat {a} + \ frac {1} {2} \ right)

É aconselhável observar que o termo \ frac {1} {2} \ hbar ímega é um consequência que \ Hat X e \ HAT {p} _x Não mude, ou seja, o princípio da indeterminação. Vamos ver o que se segue que este termo dá origem à energia do ponto zero ou energia do estado fundamental.

Finalmente, de acordo com a expressão anterior, o espectro de \ Hat H está relacionado com o espectro de \ hat n = \ hat {a} ^ \ Dagger \ hat {a}. Neste caso, podemos ver que \ HAT A \, é um operador escada baixou, desde

= \ hat {N} \ hat {a} \ hat \ hat \ hAT ^ \ dAGGER \ hat {a} \ hat \ hat {a} \ hat {a} ^ \ dagger \ hat {a} = - \ hat {a}

onde a relação foi tido em conta Switching

valores próprios na energia. representação

para obter os valores próprios de N = \ hat {a} ^ \ Dagger \ chapéu {a}

\ hat {n} | n \ rangle = n | n \ rangle

usaremos as seguintes propriedades do Espectro de \ hat {N}:

  • valores próprios N \, são positivos ou nulos. De fato, o padrão padrão \ hat a \ esquerda | N \ direito \ rangle é positivo ou nulo, então

\ left (\ hat a \ esquerda | n \ direita \ rangle, \ hat a \ hat Esquerda | n \ direita \ rangle \ direita) = \ left \ langle n \ direita | \ Chapéu A ^ \ Dagger \ Hat A \ Esquerda | n \ direito \ rangle = \ left \ langle n \ direita | \ Hat n \ left | n \ direito \ rangle = n \ left \ langle n | N \ direito \ rangle = n \ GE 0onde consideramos que as funções\ esquerda | n \ direita \ ranglesão padronizados.

  • se n \, é um valor associado ao seu próprio vetor \ esquerda | n \ direito \ rangle, então n-1 \, também é um valor próprio associado ao vetor \ hat {a} \ Esquerda | n \ direito \ rangle Do resultado anterior é obtido que a constante de padronização de \ hat \ esquerda | n \ direito \ rangle1 / \ sqrt {n}. É obtido assim \ hat \ esquerda | n \ direita \ rangle = \ sqrt {n} \ esquerda | N-1 \ direito \ rangle
  • da mesma forma, temos que, \ hat \ loft | ^ \ Dagger \ esquerda | n \ direito \ rangle = \ sqrt {n + 1} \ esquerda | n + 1 \ direito \ rangle
  • o autovuleu n \, deve ser um inteiro. De fato, se aplicarmos M \, vezes o operador de download \ HAT A, teremos que

\ Hat A ^ M \ Esquerda | n \ right \ rangle = \ sqrt {n (n-1) \ cdots (nm + 1)} \ left | nm \ right \ ranglecomo\ left | nm \ Direito \ Rangleé um autovector de\ hat Ncom autovalorNM \,, seN \,não é um inteiro, sempre haverá um valor deM \,para o qual o autovalor NM será negativo, o que contradiz a primeira de os pontos.

Assim, os próprios valores do operador \ hat n são os inteiros n \ GE 0. Como conseqüência, o espectro de energia do Hamiltoniano do oscilador harmônico é

e_n = \ hbar ímega \ esquerda (n + \ frac {1} {2} \ right), \ qquad N \ GE 0.

vetores próprios na representação de energia

a Estado fundamental

Podemos usar os resultados anteriores para obter as autofunções do oscilador harmônico. Para obter o estado fundamental, podemos aplicar o operador de escada de descida. Por isso.como \ hat \ a \ esquerda | n \ direito \ rangle = \ sqrt {n} \ esquerda | N-1 \ right \ Rangle, temos

\ Hat \ Esquerda | 0 \ direita \ rangle = \ sqrt {0} \ esquerda | -1 \ direita \ rangle = 0

projetando sobre \ left \ langle x \ direita | podemos expressar esta equação na representação de coordenadas,

\ left \ Langle X | \ hat {a} | 0 \ direita \ rangle = 0 \ rightarrow \ left \ langle x \ direita | \ Sqrt {\ frac {m \ Ômega} {\ hbar}} \ hat {x} + i \ frac {1} {\ sqrt {m \ hbar \ Ômega}} \ hat {p} _x \ esquerda | 0 \ direita \ rangle = 0

Isso pode ser reescrito como uma equação diferencial

\ left (m \ omega x + \ right) \ psi_0 (x) = 0

x) = A \ exp / esquerda. (- \ frac {m ω x ^ 2} {2 \ hbar} \ right)

onde a constante normalização é obtida por Impondo \ left \ langle 0 | 0 \ right \ Rangle, ytoma o valor A = \ Loft (M omega / \ Pi \ hbar \ Direita).

estados excitados

Para obter as funções de onda dos estados excitados do oscilador harmônico, podemos aplicar o operador da escadaria do aumento ao estado fundamental.

\ esquerda | n \ direito \ rangle = \ frac {1} {\ sqrt {n}} \ chapéu a ^ {\ \ gagger} \ esquerda | N-1 \ direito \ rangle = \ frac {1} {\ sqrt {n!}} \ Left (\ hat a ^ {\ Dagger} → ^ \ left | 0 \ right \ Rangle

Espectro de operadores de criação e destruição

  • Como para o espectro nas seções anteriores Tem Foi testado que o espectro do operador numérico é puramente pontual e coincide com \ mathbb {n}
  • o espectro pontual da destruição do operador é todo o plano complexo \ mathbb {C} e é pontual padrão, uma vez que para qualquer número complexo \ lambda \ in \ mathbb {c} Há sempre uma solução | \ xi_ \ lambda \ rangle \ in \ mathcal {h} da equação:

\ hat \ rangle = \ lambda | \ xi_ \ lambda \ rangle

  • Finalmente o espectro pontual da criação operador está vazio, enquanto seu espectro residual inclui todo o plano complexo

Categoria:. a mecânica quântica

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