Operator de scară

în algebra liniară (și în aplicațiile sale la mecanica cuantică), un operator de creștere sau drop (cunoscut și sub numele de operatori de scară) este un operator care crește sau scade AutoValuie a unui alt operator. În mecanica cuantică, operatorul de creștere este, de asemenea, numit un operator de creație în timp ce scăderea a fost numită operator de distrugere. Aplicațiile operatorilor de scară pot fi văzute în oscilatorul armonic cuantic și în momentul unghiular.

Cunoștințe suplimentare recomandate

Cuprins

  • 1 Proprietăți
  • 2 Aplicație: oscilator armonic cuantic
    • 2.1 Analiza dimensională
    • 2.2 Valori proprii în reprezentarea puterii
    • 2.3 Vectori proprii în reprezentare de energie
      • 2.3.1 Starea fundamentală
      • 2.3.2 Statele excitat
    • 2.4 Spectrul operatorilor de creație și distrugere

Proprietăți

Presupun că doi operatori \ hat x \, și \ hat n \, au un raport de comutare care este proporțional cu operatorul \ hat x \,:

= C \ HAT X \,

Fiind C \, o urcare. Apoi operatorul \ hat x \, va acționa în așa fel încât să deruleze AutoValue și Autovector de \ hat n \, o cantitate c \,. De fapt:

\hat N \hat X|n\rangle\ hat n \ hat x | n \ rangle {} = (\ hat x \ hat n +) | n \ rangle
{} = (\ hat x \ hat n + c \ hat x) | n \ rangle
{} = \ hat x \ hat n | n \ rargle + c \ hat x | n \ ranagle
{} = \ hat xn | n \ rangle + C \ HAAT X | N \ Rangle
{} = (n + c) \ hat x | n \ rargle

adică, dacă este un autotor de \ hat n \, cu AutoValue N \,, apoi \ hat x | n \ rargle este, de asemenea, un autotor de \ HAT N \,, dar în acest caz cu AutoValue N + C \,. Adică | n + c \ rargle = \ hat x | n \ rangle.

dacă \ hat n \ , este hertici (de exemplu, dacă este Hamiltonian), apoi c \, trebuie să fie real. În acest caz, dacă C \, este pozitiv, se spune că \ hat x \, este un operator de creștere, în timp ce dacă Operatorul este în jos este negativ. Rețineți că dacă este încărcat \ hat x \,, atunci operatorul său atașat va fi în jos și invers, deoarece acestea se supun relației:

= -C \ hat x ^ \ dagger. \,

Aplicație: oscilator armonic cuantic

Vom vedea apoi aplicarea operatorilor de scară în cazul oscilatorului armonic cuantic. Astfel, vom diagoniza hamiltonia care aplică algebra operatorilor de scară. Vom începe să scriem Hamiltonianul ca:

\ hal = \ frac {\ hat {p} _x ^ 2} {2M} + \ frac {1} {2} M \ Omega ^ 2 \ Hat {x} ^ 2

unde \ Hat {p} _x este componenta de pe axa x a timpului operator al particulei.

Analiza dimensională

Vom începe prin rescrierea Hamiltonianului în ceea ce privește magnitudinile dimensionale (pentru această analiză dimensională poate fi aplicată). Pentru a face acest lucru, vom defini magnitudinile

\ hat {x} = \ sqrt {\ frac {m ω} {\ Har}}} \ Hat {x}, qquad \ hat {} = \ frac {\ hal {} \x} {{{} \x} {\ sqrt {m \ hbart}}

care permite hamiltonianului să-și exprime ca suma formelor patrate

\ hal} = \ Frac {1} {2} \ hbar \ omega \ stânga (\ hat {p} ^ 2 + \ hat {x} ^ 2 \ dreapta)

Acest formular sugerează definirea unui operator și atașarea acestuia astfel încât produsul dvs. să fie proporțional cu Hamiltonian (echivalent cu definiția complexului complex și conjugat).Deci, dacă definim operatorul de descărcare A \, și creștere

\ hat {a} = \ frac {1} {\ sqrt {2}} (\ hat {x} + i \ hat {}), \ Qquad \ hat {a} ^ \ dagger = \ fata {1} {\ sqrt {2}} (\ hat {x} -i \ hat {})

Este ușor să verificați dacă raportul de comutare post-time \ stânga = i Este transformat în și că hamiltonianul poate fi rescris ca

\ hat {h} = \ frac {1} {2} \ hbar \ omega \ stânga (\ hat {a} \ hat {a} ^ ^ dagger + \ hat {a} ^ \ dagger \ hat {a} \ dreapta) = \ hat \ omega \ stânga (\ hat {a} ^ \ dagger \ hat {a} + \ frac {1} {2} dreapta)

Este recomandabil să rețineți că termenul \ frac {1} {2} \ hbar \ omega este a Consecință că \ hat x și \ HAT {P} _X Nu comutați, adică principiul indeterminării. Vom vedea ce urmează că acest termen dă naștere la energia punctului zero sau energia statului fundamental.

în cele din urmă, în funcție de expresia anterioară, spectrul de \ Hat h este legat de spectrul de \ hat n = \ hat {a} ^ \ dagger \ hat {a}. În acest caz, putem vedea că \ hat a \, este un operator scăzut scăzut, deoarece

= \ hat {n} \ hat {a} \ hat \ hat \ hat ^ \ dagger \ hat {a} \ hat \ hat {a} \ hat {a} ^ \ dagger \ hat {A} = - \ hat {a}

unde relația a fost luată în considerare.

valori proprii în energie Reprezentare

pentru a obține propriile valori ale n = \ hat {a} ^ \ dagger \ hat {a}

\ hat {n} | n \ rargle = n | n \ rargleiv id = „A2f737325”

Vom folosi următoarele proprietăți ale spectrului de \ hat {n}

  • valori proprii N \, sunt pozitive sau null. Într-adevăr, standardul vectorial \ hat a \ stânga | N \ dreapta \ rigle este pozitiv sau null, apoi

stânga (\ hat a \ stânga | n \ dreapta \ rargle, \ hat a \ Stânga | n \ dreapta \ rargle \ dreapta) = \ stânga \ Lang \ dreapta | \ Hat a ^ \ dagger \ hat a \ stânga | n \ dreapta \ rargle = \ stânga \ Langy n \ dreapta | \ Hat n \ stânga | n \ dreapta \ rargle = n \ stânga \ Lang N | N \ dreapta \ rargle = n \ g ori 0 unde am considerat că funcțiile stânga | n \ dreapta \ Rangle sunt standardizate.

  • Dacă N \, este o valoare asociată cu vectorul propriu stânga | n \ dreapta \ rigle, apoi n-1 \, este, de asemenea, o valoare proprie asociată cu vectorul \ pack} \ Stânga | n \ dreapta \ rigle Din rezultatul anterior se obține că constatarea standardizării \ hat \ stânga | n \ dreapta \ rigle este . Se obține astfel \ hat \ stânga | n \ dreapta \ rargle = \ sqrt {n} \ stânga | N-1 \ dreapta \ rargle.
  • în același mod, trebuie să, \ hat \ loft | ^ \ dagger \ stânga | n \ dreapta \ rargle = \ sqrt {n + 1} \ stânga | N + 1 \ dreapta \ Rangle.
  • AutoValue n \, ar trebui să fie un număr întreg. Într-adevăr, dacă aplicăm ori operatorul de descărcare \ hat a, vom avea acel

\ hat a ^ m @ stânga | n \ dreapta \ rigle = \ sqrt {n (n-1) \ cdots (n-m + 1)} \ stânga | nm \ dreapta \ rargle ca \ stânga | nm \ dreapta \ Rangle este un autovehicul de \ hat n cu autovalue nm \,, dacă N \, nu este un număr întreg, va fi întotdeauna o valoare de m \, pentru care nm autovalue va fi negativ, ceea ce contrazice primul punctele. Astfel, valorile proprii ale operatorului \ hat n sunt numerele numere n \ g ori 0. Ca o consecință, spectrul energetic al lui Hamiltonian al oscilatorului armonic este

e_n = \ hbar \ omega \ stânga (n + \ frac {1} {2} \ dreapta), \ QQual N \ GE 0.

Vectori proprii în reprezentarea energetică

Starea fundamentală

Putem folosi rezultatele anterioare pentru a obține autofuncțiile oscilatorului armonic. Pentru a obține statul fundamental, putem aplica operatorul de coborâre. Prin urmare.ca \ hat \ a \ stânga | n \ dreapta \ rargle = \ sqrt {n} \ stânga | N-1 \ dreapta \ rargle, avem

\ hat \ stânga | 0 \ dreapta \ rargle = \ sqrt {0} \ stânga | -1 \ dreapta \ rargle = 0

\ Stânga \ Langle X \ Drept | Putem exprima această ecuație în reprezentarea coordonatelor,

\ stânga \ Langle X | \ hat {a} | 0 \ dreapta \ rargle = 0 \ dreaptaRrow \ stânga \ Langle X \ Dreapta | \ Sqrt {\ frac {m \ Omega} {{{} {x} {x} + i \ frac {1} {\ sqrt {m \ hbar}}} \ m \ hbar}}} \ m \ hbart}}} 0 \ dreapta \ rargle = 0

care poate fi rescris ca o ecuație diferențială

\ stânga (m \ omega x + \ dreapta) \ psi_0 (x) = 0

.

x) = a \ exp / stânga (- \ frac {m ω x ^ 2} {2 \ hbar} \ dreapta).

în cazul în care constanta de normalizare este obținută prin impunerea \ stânga \ Lang 0 | 0 \ dreapta \ Rangle, Yoma Valoarea A = \ Loft (m Omega / \ Pi \ hbar \ dreapta).

Statele excitate

Pentru a obține funcțiile de undă ale stărilor entuziasmate ale oscilatorului armonic, putem aplica operatorul de creștere a scării la starea fundamentală.

\ stânga | n \ dreapta \ rargle = \ frac {1} {\ sqrt {n}} \ hat a ^ {\ \ \ dagger} \ stânga | N-1 \ dreapta \ rangle = \ frac {1} {\ sqrt {n!}} Stânga (\ hat a ^ {\ dagger} → ^ \ stânga | 0 \ Drept \ Rangle

Spectru de operator de creație și distrugere

  • ca și spectrul în secțiunile anterioare a fost testat faptul că spectrul operatorului de număr este pur punctual și coincide cu \ Mathbb {n}.
  • Spectrul punctual al distrugerii operatorului este întregul Complexul avionului \ Mathbb {c} și este implicit punctual, deoarece pentru orice număr complex \ lambda \ în \ matethbb {c} Există întotdeauna o soluție \ xi_ \ lambda \ rargle \ în \ Mathcal {h} al ecuației:

\ hat \ rargle = \ lambda | \ xi_ \ lambda \ rargle

  • in cele din urma Spectrul punctual al creației operatorului este gol, în timp ce spectrul său rezidual include întregul plan complex.

Categorie: Mecanica cuantice

Lasă un răspuns

Adresa ta de email nu va fi publicată. Câmpurile obligatorii sunt marcate cu *